Chia đa thức cho đa thức là một chủ đề toán học trong chương trình lớp 8. Kiến thức này là không chỉ là nền tảng toán học quan trọng có tính ứng dụng cao mà còn thường xuyên xuất hiện trong đề thi tuyển sinh lớp 10 hàng năm. Vì thế các em học sinh lớp 8 cần phải nắm chắc kiến thức cũng như rèn luyện đa dạng các dạng bài tập chia đa thức cho đa thức để có thể làm tốt dạng toán này.
Lý thuyết về đa thức
Đa thức là gì?
Đa thức là một tổng của 2 hay nhiều đơn thức với nhau. Trong đó mỗi đơn thức được xem là một hạng tử của đa thức đó.
Từ khái niệm trên, ta có thể thấy rằng:
- Mỗi đa thức là một biểu thức nguyên.
- Mỗi đơn thức cũng là một đa thức.
Đa thức thu gọn là gì?
Một đa thức có thể là tổng của rất nhiều các đơn thức khác nhau. Vì thế nếu trong đa thức có các hai hay nhiều đơn thức đồng dạng thì ta có thể thu gọn các đơn thức đồng dạng này để được đa thức thu gọn.
Một đa thức được gọi là đa thức thu gọn nếu trong đa thức đó không còn hạng tử vào đồng dạng với nhau.
- Những điều cần biết về hỗn số
Ví dụ: Ta có đa thức
A = 2x³ + 3x² – 2x – x³ + 5x² + 3
= (2x³ – x³) + (3x² + 5x²) – 2x + 3
= x³ + 8x² – 2x + 3
Vậy đa thức A thu gọn là
A = x³ + 8x² – 2x + 3
Cách xác định bậc của đa thức
Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong số các hạng tử của đa thức đó, khi đa thức ở dạng thu gọn.
Ví dụ: Ta có đa thức B = 2x³ – 8x² – 3x + 1
Có thể thấy rằng hạng tử có bậc cao nhất trong số các hạng tử của đa thức B là 2x³. Vì thế bậc của đa thức B là bậc 3
Các phép toán liên quan đến đa thức
Cộng đa thức với đa thức
Muốn cộng 2 đa thức với nhau ta thực hiện cộng lần lượt các hạng tử có cùng dạng để được đa thức thu gọn nhất.
Ví dụ: Tính tổng của 2 đa thức
A = 2x³ + 3x² – 2x + 3
B = -8x² – 3x + 1
Ta có: A + B = 2x³ + 3x² – 2x + 3 + ( -8x² – 3x + 1)
= 2x³ + 3x² – 2x + 3 – 8x² – 3x + 1
= 2x³ – 6x² – 5x + 4
Vậy A + B = 2x³ – 6x² – 5x + 4
- Cách tính nhẩm nhanh và chính xác
Trừ đa thức cho đa thức
Tương tự với phép cộng hai đa thức, ta cũng thực hiện trừ lần lượt các hạng tử có cùng dạng để được đa thức rút gọn nhất. Lưu ý tuân thủ theo quy tắc “dấu ngoặc”
Ví dụ: Ta có 2 đa thức:
A = – x³ + 5x² – 2x – 1
B = -3x³ + x² – 3x + 1
Tính A – B
Ta có A – B = (- x³ + 5x² – 2x – 1) – (-3x³ + x² – 3x + 1)
= – x + 5x² – 2x – 1 + 3x³ – x² + 3x – 1
= 2x³ + 4x² + x – 2
Vậy A – B = 2x³ + 4x² + x – 2
Nhân đa thức với đa thức
Nhân đa thức với đa thức là kĩ thuật quan trọng sẽ sử dụng rất nhiều trong chương trình toán học sau này. Vì thế bắt buộc các em học sinh phải làm tốt được các bài tập nhân đa thức. Vậy làm thế nào để nhân đa thức với đa thức?
Muốn nhân đa thức với đa thức, ta thực hiện nhân lần lượt từng hạng tử của đa thức này với các hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích số lại với nhau để được đa thức thu gọn nhất.
Ví dụ: Nhân hai đa thức:
A = x + 5x²y – 2xy – 1
B = x²y – 3x + 1
Ta có: AB = (x + 5x²y² – 2xy – 1)(xy – 3x + 1)
= x²y – 3x² +x + 5x³y³ -15x³y² + 5x²y² -2x²y² +6x²y -2xy -xy +3x -1
= 5x³y³ -15x³y² + 3x²y² + 7x²y -3xy -3x² +4x -1
Vậy AB = 5x³y³ -15x³y² + 3x²y² + 7x²y -3xy -3x² +4x -1
Phép chia đa thức cho đa thức
Cũng như phép nhân, phép chia đa thức cho đa thức cũng đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài toán ở bậc trung học phổ thông sau này. Chính vì thế các em học sinh nên rèn luyện thường xuyên phép chia đa thức để có thể làm thành thạo các dạng bài tập liên quan.
Cách chia đa thức A cho đa thức B. Cho A và B là hai đa thức tuỳ ý của cùng một biến số (B≠0), khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A=B.Q+R, trong đó R=0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.
Trong đó, Q được gọi là đa thức thương của A/B, R được gọi là dư trong phép chia A/B.
- Nắm vững các công thức lượng giác lớp 9
Một số hằng đẳng thức mà học sinh nên ghi nhớ để rút gọn phép đa thức:
(A³+B³):(A+B)=A²−AB+B²
(A³−B³):(A−B)=A²+AB+B²
(A²−B²):(A+B)=A−B
Ví dụ 1: Cho 2 đa thức:
A = 2×3 – 5×2 – x + 1
B = 2x + 1
Tìm A/B?
Ta có A/B = (2×3 – 5×2 – x + 1) : (2x + 1)
= (2×3 + x2 -6×2 -3x +2x + 1) : (2x + 1)
= x2 – 3 + 1
Vậy A/B = (2×3 – 5×2 – x + 1) : (2x + 1)
Ví dụ 2: Cho 2 đa thức A và B lần lượt là
A = x3 – 2x + 4
B = x + 2
Tìm A/B?
Ta có: A/B = (x3 – 2x + 4) : (x + 2)
= (x3 + 2×2-3×2-6x +x2 +4x + 4) : (x + 2)
= (x2(x+2) – 3x(x+2) + (x+2)2) : (x + 2)
= x2 -3x + x +2
= x2 -2x + 2
Vậy A/B = x2 -2x + 2
Một số bài tập về đa thức lớp 8
Dưới đây là một số bài toán về đa thức từ cơ bản đến nâng cao mà các em học sinh có thể tham khảo và ôn luyện ở nhà. Đặc biệt dạng bài tập chia đa thức cho đa thức lớp 8 tương đối khó và phải tư duy nhiều nên các em hãy rèn luyện nhiều hơn để rút ngắn thời gian làm bài.
- Giải bài toán tính vận tốc trung bình
Bài 1: Rút gọn các đa thức sau đây:
A = 3x3y3 -2x3y + x3y2 – 3 + 3x3y3 + 5×2 + 6y + 3
B = 2x + 3×3 -6×2 – 5×3
Bài 2: Cho 2 đa thức A và B, tính tổng A + B và A – B, biết:
A = 3x3y3 -2x3y + x3y2 – 3 + 3x3y3 + 5×2 + 6y + 3
B = 2x + 3×3 -6×2 – 5×3
Bài 3: Thực hiện các phép chia đa thức sau:
a) (6×3 – 5×2 + 4x – 1) : (2×2 – x + 1)
b) (x4 – 5×2 + 4) : (x2 – 3x + 2)
c) ( x3 – 2×2 – 5x + 6 ) : ( x + 2 )
d) ( x3 – 2×2 + 5x + 8) : ( x + 1 )
Trên đây là tóm tắt lý thuyết, ví dụ minh họa và các bài tập tham khảo của các phép toán giữa đa thức, đặc biệt là phép chia đa thức cho đa thức. Hi vọng những kiến thức mà Sigma Books chia sẻ trên sẽ giúp ích phần nào cho các em trên con đường chinh phục toán học. Chúc các em thành công
